基本积分公式#

基本积分公式

这些是最基础的积分公式，必须熟练掌握：

1. $\int k dx = kx + C$ (k为常数)
2. $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (n≠-1)
3. $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
4. $\int e^x dx = e^x + C$
5. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ (a>0, a≠1)

三角函数积分#

三角函数积分

三角函数积分在考研中经常出现，需要特别注意正负号：

1. $\int \sin x dx = -\cos x + C$
2. $\int \cos x dx = \sin x + C$
3. $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$
4. $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$
5. $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
6. $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
7. $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
8. $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

反三角函数积分#

反三角函数积分

这些积分在求解某些特殊函数时很有用：

1. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
2. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

常用积分技巧#

积分技巧

掌握这些技巧可以大大提高解题效率：

1. 分部积分法：$\int u dv = uv - \int v du$
2. 换元积分法：$\int f(g(x))g"(x)dx = \int f(u)du$ (u=g(x))
3. 有理函数积分：通过部分分式分解
4. 三角代换：
   • $\sqrt{a^2-x^2}$ 用 $x=a\sin t$
   • $\sqrt{a^2+x^2}$ 用 $x=a\tan t$
   • $\sqrt{x^2-a^2}$ 用 $x=a\sec t$

特殊积分公式#

特殊积分公式

这些公式在特定情况下非常有用：

1. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
2. $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$
3. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$
4. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$

注意事项#

注意事项

使用积分公式时需要注意以下几点：

1. 积分常数C不能忘记
2. 注意积分区间的定义域
3. 使用换元法时要注意变量替换的单调性
4. 分部积分时要注意u和dv的选择

常见错误

在考试中容易犯的错误：

1. 忘记加积分常数C
2. 忽略积分区间的定义域限制
3. 换元时忘记改变积分限
4. 分部积分时选择不当的u和dv