重要注意事项

1. 收敛域的重要性：每个泰勒展开式都有其特定的收敛域，超出收敛域使用展开式会导致结果不准确甚至错误。
2. 展开点选择：泰勒展开式默认在 $x=0$ 处展开（麦克劳林级数），如果需要在其他点展开，需要进行变量替换。
3. 余项估计：实际应用中需要考虑泰勒展开的余项，特别是当 $x$ 值较大时，可能需要更多项才能达到所需精度。
4. 计算精度：在计算机数值计算中，泰勒展开的项数选择需要权衡计算效率和精度。

常见易错点

1. 收敛域混淆：容易混淆不同函数的收敛域，如 $\ln(1+x)$ 的收敛域是 $(-1,1]$，而 $\frac{1}{1-x}$ 的收敛域是 $(-1,1)$。
2. 符号错误：在 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开式中，容易忽略 $(-1)^n$ 的符号变化。
3. 项数选择：在近似计算时，容易选择过少或过多的项数，导致精度不足或计算效率低下。
4. 复合函数展开：对复合函数进行泰勒展开时，需要特别注意收敛域的变化。

基本指数函数

$$e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$

三角函数

$$\begin{aligned} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty) \\ \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + \cdots, \quad x \in (-\infty, +\infty) \\ \tan x &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \cdots, \quad x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \end{aligned}$$

对数函数

$$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1} = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \cdots, \quad x \in (-1, 1]$$

几何级数

$$\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots, \quad x \in (-1, 1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \cdots, \quad x \in (-1, 1) \end{aligned}$$

幂函数

$$(1+x)^{\alpha} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^{n} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^{2} + \cdots, \quad x \in (-1, 1)$$

反三角函数

$$\begin{aligned} \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + \cdots, \quad x \in [-1, 1] \\ \arcsin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \cdots, \quad x \in (-1, 1) \end{aligned}$$